Олександр Грицай народився 30 вересня 1977 року у Чернігові і починав займатися футболом у місцевій СДЮШОР. Виступав на позиціях центрального захисника і опорного півзахисника. Ігрову кар’єру провів у командах «Текстильник» Чернігів (1994-95), «Черкаси» (1997-1999), ФК «Дніпро» (2000-2008), «Кривбас» (2009), «Арсенал» Київ (2009-12), «Зоря» Луганськ (2012-2015). В складі «Дніпра» двічі бронзовий призер чемпіонату України. Провів 3 матчі за національну збірну України.

З 2015 року розпочав тренерську діяльність. Входив у тренерські  штаби луганської «Зорі» (2015-2019) і львівського «Руху» (2020-21). У минулому сезоні був головним тренером магдалинівського «ВПК-Агро», який виступав у Першій лізі.

З липня 2022 року тренер СК «Дніпро-1»